Barisan dan Deret – Aritmatika, Geometri, Tak Hingga

Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan $U_n$ . Barisan juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli. Sehingga, $U_n = f(n)$

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Integral

Perkalian & Invers Matriks

barisan dan deret sebagai fungsi

Misalkan $U_n = (2n + 1)$ , maka suku ke-4 dari baris tersebut adalah $U_4 = (2(4) + 1) = 9$ .

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Penjumlahan suku-suku tersebut bisa dibuat dalam bentuk sigma. Barisan dari suku U₁, U₂, U₃, …, U_n yang dinyatakan dalam fungsi f(n) = U_n $f(n) = U_n$ memiliki deret sebagai:

$U_1 + U_2 + U_3 + cdots + U_n = sum limits_{i=1}^{n} {U_i}$

Baris Aritmatika

Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:

$U_n - U_{(n - 1)} = b$

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k + (n - k)b$

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama $U_k = a$ dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai $U_n$ adalah:

$U_n = a + (n - 1)b$

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + cdots + U_{(n-1)}$

atau sebagai:

$S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + cdots + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)$

Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

$S_n = frac{n}{2}(a + U_n)$

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + cdots +U_(n-1)$ .

$S_(n-1) = U_1 + U_2 + U_3 + cdots + U_(n-1)$ .

$S_n - S_(n-1) = U_n$

Sehingga diperoleh $U_n = S_n - S_(n-1)$ .

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:

$b = frac{p-a}{q+1}$

Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya adalah:

Nilai q = 3

Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5

$b = frac{9-1}{3+1} = frac{8}{4}= 2$

Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah

Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika adalah suku ke- $frac{1}{2}(n+1)$ . Jika diselesaikan dalam rumus $U_n = a + (n - 1)b$ , maka nilai suku tengah didapatkan:

$U_n = a + (n - 1)b$

$U_{frac{1}{2}(n + 1)} = a + (frac{1}{2}(n + 1) - 1)b$

$= a + (frac{1}{2}n - frac{1}{2})b = a + frac{1}{2}(n - 1)b$

$= frac{2a+(n - 1)b}{2} = frac{a + a(n - 1)b}{2}$

$U_{frac{1}{2}(n + 1)} = frac{a + U_n}{2}$

Barisan Geometri

Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

$frac{U_n}{U_{(n - 1)}} = r$

Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai

$r = frac{16}{8} = frac{8}{4} = frac{4}{2} = frac{2}{1} = 2$

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k cdot r^{(n - k)}$

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama $U_k = a$ dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai $U_n$ adalah:

$U_n = a cdot r^{(n - 1)}$

Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + cdots + U_{(n - 1)} + U_n$

Atau sebagai:

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + cdots + ar^{(n - 2)} + ar^{(n - 1)}$

Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai U_n adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

$S_n = afrac{(1 - r^n)}{(1 - r)}$

dengan syarat 0 < r < 1.

Atau:

$S_n = a frac{(r^n - 1)}{(r - 1)}$

dengan syarat r> 1.

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu:

$U_n = S_n - S_{(n - 1)}$

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi:

a, ar, ar², ar³, …,ar^q, ar^(q+1)

Dimana suku terakhir tersebut:

ar^(q+1) = p

Sehingganilai r dapat ditentukan sebagai:

$r = sqrt[q + 1]{frac{p}{a}}$

Deret Geometri Tak hingga

Suatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hingga dimana $n rightarrow infty$ , maka deret ini dapat dijumlah menjadi:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + cdots$

Atau sebagai :

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + cdots$

Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri adalah:

$S_n = a frac{(1 - r^n)}{(1 - r)}$

Dimana terdapat unsur $r^n$ didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Jika $n rightarrow infty$ , maka untuk menentukan nilai $r^n$ dapat menggunakan limit yaitu:

$lim_{n rightarrow infty} r^n$

dengan syarat -1 < r < 1.

Dan:

$lim_{n rightarrow infty} r^n = tak terbatas$

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Kemudian hasil limit $r^n$ tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan deret sebagai:

$S = a frac{(1 - lim_{n rightarrow infty} r^n)}{(1 -r)} = a frac{1 - 0}{1 - r} = infty$

dengan syarat -1 < r < 1

Dan:

$S = a frac{(1 - lim_{n rightarrow infty} r^n}{(1 - r)} = a frac{(1 - infty)}{(1 - r)} = infty$

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika/Geometri dan Pembahasan

1. Contoh Soal Deret Aritmatika

Suatu deret aritmatika memiliki suku ke-5 sama dengan 42, dan suku ke-8 sama dengan 15. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah?

Pembahasan:

Diketahui bahwa $U_5 = 42$ , $U_8 = 15$ , maka dapat digunakan rumus :

$U_n = U_k + (n - k)b$

Dimana:

$U_8 = U_5 + (8 - 5)b$

$15 = 42 + (8 - 5)b$

$3b = -27$

$b = -9$

Sehingga:

$U_5 = 42 = a + 4b = a + 4(-9) = a - 36$

$78 = a$

$U_{12} = a + 11b = 78 + 11(-9) = 78 - 99 = -21$

Diperoleh:

$S_{12} = frac{n}{2} (a + U_12) = frac{12}{2} (78 + (-21)) = 6 times 57 = 342$

2. Contoh Soal Deret Geometri

Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan:

Diketahui bahwa:

$S_2 = 6$

$6 = a frac{(1 - r^2)}{(1 -r)} = a frac{(1 -r)(1 + r)}{(1 -r)} = a(1 + r)$

dan

$S_4 = 54$

$54 = a frac{(1 - r^4)}{(1 - r)} = a frac{(1 - r^2)(1 + r^2)}{(1 - r)} = a frac{(1 - r)(1 + r)(1 + r^2)}{(1 - r)}$

$54 = a(1 + r)(1 + r^2)$

Jika kedua persamaan disubstitusikan :

$54 = a(1 + r)(1 + r^2)$

$54 = 6(1 + r^2)$

$9 = (1 + r^2)$

$r = pm sqrt{8} = pm2sqrt{2}$

Dan

$6 = a(1 + r) = a(1 + 2sqrt{2})$

$a = frac{6}{(1 + 2sqrt{2})}$

Sehingga :

$S_n = a frac{(1 - r^n)}{(1 - r)} = (frac{6}{1 + 2sqrt{2}}) frac{(1 - (2sqrt{2})^6)}{(1 - 2sqrt{2})}$

$S_n = frac{6(1 - 8^3)}{1 - 8} = frac{3066}{7}$

3. Contoh Soal Geometri Tak Hingga

Jika $frac{1}{p} + frac{1}{q} = 1$ maka jumlah deret geometri tak hingga $frac{1}{p} + frac{1}{pq} + frac{1}{pq^2} + frac{1}{pq^3} + cdots$ adalah?

(SPMB 2005)

Pembahasan 3:

Diketahui bahwa:

$frac{1}{p} + frac{1}{q} = frac{p + q}{pq}$ atau $p + q = pq$

Ditentukan ratio deretnya adalah:

$r = frac{U_n}{U_{(n - 1)}} = frac{frac{1}{pq}}{frac{1}{p}} = frac{1}{pq} times frac{p}{1} = frac{1}{q}$

Maka jumlah deretnya dengan mensubstitusi $p + q = pq$ adalah:

$S = frac{a}{(1 - r)} = frac{frac{1}{p}}{(1 - frac{1}{q})} = frac{frac{1}{p}}{(frac{q - 1}{q})} = frac{1}{p} times frac{q}{q - 1} = frac{q}{p(q - 1)}$

$S = frac{q}{pq -p} = frac{q}{(p + q) - p} = 1$

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.

Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

Pengertian, Ordo, & Identitas Matriks

Translasi, Rotasi, & Dilatasi

Pengertian, Rumus, & Operasi Vektor